最近在全國制訂高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)時，一位專家對數(shù)學(xué)的作用概括了三句話：用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界。

　　傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育往往從基本的概念或定義出發(fā)，以簡練的方式合乎邏輯地推演出所要求的結(jié)論。這固然可以使學(xué)生在較短時間內(nèi)按部就班地學(xué)到盡可能多的內(nèi)容，并體會到一種絲絲入扣、天衣無縫的美感。但是，過分強(qiáng)調(diào)這一點，就可能使學(xué)生誤以為數(shù)學(xué)這樣的完美無缺、無懈可擊是與生俱來、天經(jīng)地義的，反而使思想處于一種僵化狀態(tài)，在生動活潑的現(xiàn)實世界面前手足無措、一籌莫展，甚至使學(xué)生感到學(xué)了很多據(jù)說非常重要、十分有用的數(shù)學(xué)知識以后，卻不會應(yīng)用或無法應(yīng)用，甚至還覺得毫無用處。

　　從今年開始，數(shù)學(xué)建模的實踐和活動也已首次列入全國高級中學(xué)的教學(xué)計劃。

　　世間萬事萬物都有數(shù)和形兩個側(cè)面，數(shù)學(xué)就是撇開了事物其他方面的狀態(tài)和屬性，單純研究現(xiàn)實世界中空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。數(shù)學(xué)是各門科學(xué)的重要基礎(chǔ)，更是人類文明的重要組成部分和堅實支柱，現(xiàn)在，大學(xué)本科數(shù)學(xué)類的專業(yè)已經(jīng)成了一個最熱門的專業(yè)。

　　但是，要顯示數(shù)學(xué)強(qiáng)大的生命力，需要將實際問題化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，然后對這個數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析和計算，最后將所求解答回歸實際，看能否有效地回答問題，如果不能，再從頭調(diào)整，直到基本滿意為止。這個過程，特別是其中第一步，就是數(shù)學(xué)建模，即為所考察的實際問題建立數(shù)學(xué)模型。

　　數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用的重要橋梁。數(shù)學(xué)建模對培養(yǎng)創(chuàng)新型人才非常重要

　　“數(shù)學(xué)模型”和“數(shù)學(xué)建?！边@兩個名詞出現(xiàn)得比較晚，在我國興起并被廣泛使用，不過是近三十多年的事，但數(shù)學(xué)模型的建立或數(shù)學(xué)建模，古已有之。

　　公元前三世紀(jì)歐幾里得所著的《幾何原本》是公認(rèn)的數(shù)學(xué)經(jīng)典。他用嚴(yán)格演繹的方法，利用古希臘時代積累的眾多幾何知識建立了一個完整的體系，一座宏偉的幾何大廈，為現(xiàn)實世界的空間形式構(gòu)建了一個數(shù)學(xué)模型。這個模型十分有效，在各方面都有成功的應(yīng)用，并且在它的基礎(chǔ)上發(fā)展出一整套幾何學(xué)、以及以演繹推理為核心的數(shù)學(xué)研究方法，至今都發(fā)揮著巨大作用。

　　此外，開普勒根據(jù)第谷的大量天文觀測數(shù)據(jù)總結(jié)出的行星運動三大規(guī)律，后來牛頓利用與距離平方成反比的萬有引力公式，從牛頓力學(xué)的原理出發(fā)，給出了嚴(yán)格的證明，同樣是數(shù)學(xué)建模取得輝煌成功的例子。一些重要的力學(xué)、物理學(xué)的基本微分方程，如經(jīng)典力學(xué)中的牛頓第二運動定律、電動力學(xué)中的麥斯韋爾方程、流體力學(xué)中的歐拉方程與納維-斯托克斯方程，以及量子力學(xué)中的薛定諤方程等，都是抓住學(xué)科本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，并成為相關(guān)學(xué)科的核心內(nèi)容和基本理論框架。

　　1998年菲爾茲獎得主、英國數(shù)學(xué)家高爾斯(T.Gowers)認(rèn)為：數(shù)學(xué)所研究的并非真正的現(xiàn)實世界，而只是現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)模型，即所研究的那部分現(xiàn)實世界的一種虛構(gòu)和簡化的版本。

　　按高爾斯的說法，數(shù)學(xué)研究的是現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)模型。作為數(shù)學(xué)研究對象的數(shù)學(xué)模型本質(zhì)上來自現(xiàn)實世界，并要接受現(xiàn)實世界無情而公正的檢驗。

　　仔細(xì)思考，整數(shù)，實數(shù)，以及歐氏幾何，線性空間，群論，微積分，集合論，乃至混沌，分形等等，有哪一個不是某一方面的數(shù)學(xué)模型呢？！整個數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史就是不斷建立數(shù)學(xué)模型并對其研究逐步深化的歷史。

　　從事數(shù)學(xué)建模，好比構(gòu)建一座房屋，一旦房屋初具規(guī)模，就成了一個數(shù)學(xué)模型。以后數(shù)學(xué)家們所做的工作，就是在這個基礎(chǔ)上，對建筑進(jìn)行內(nèi)部整理與裝修。不論應(yīng)用數(shù)學(xué)還是純粹數(shù)學(xué)，都是在數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)上加以發(fā)揮和深化。

　　同時，數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育。要真正使學(xué)生走近數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)并熱愛數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的教學(xué)不能和其他科學(xué)以及整個外部世界隔離開來，關(guān)起門來只在數(shù)學(xué)內(nèi)部的概念、方法和理論中兜圈子。這樣做不利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

　　我們的教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生身臨其境地了解知識創(chuàng)造過程，否則素質(zhì)教育就是一句空話

　　長期以來，數(shù)學(xué)課程往往自成體系，處于自我封閉狀態(tài)，一直沒有有效的方式，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與豐富多彩、生動活潑的現(xiàn)實生活聯(lián)系起來，以致學(xué)生在學(xué)了許多據(jù)說是非常重要、十分有用的數(shù)學(xué)知識以后，卻不會應(yīng)用或無法應(yīng)用，有些甚至還覺得毫無用處。

　　數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)實驗等課程，為數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系在教學(xué)過程中打開了通道，為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)提供了一種有效的方式，并起到了積極的促進(jìn)作用。這是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個成功的嘗試，也是對素質(zhì)教育的一個重要的貢獻(xiàn)。

　　不僅如此，任何科學(xué)，包括數(shù)學(xué)科學(xué)在內(nèi)，在本質(zhì)上都是革命的，是不斷創(chuàng)新、發(fā)展，與時俱進(jìn)的，可是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程與這種創(chuàng)新、發(fā)展的實際進(jìn)程卻不免背道而馳。

　　傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育往往從基本的概念或定義出發(fā)，以簡練的方式合乎邏輯地推演出所要求的結(jié)論。這固然可以使學(xué)生在較短時間內(nèi)按部就班地學(xué)到盡可能多的內(nèi)容，并體會到一種絲絲入扣、天衣無縫的美感。但是，過分強(qiáng)調(diào)這一點，就可能使學(xué)生誤以為數(shù)學(xué)這樣的完美無缺、無懈可擊是與生俱來、天經(jīng)地義的，反而使思想處于一種僵化狀態(tài)，在生動活潑的現(xiàn)實世界面前手足無措、一籌莫展。

　　其實，現(xiàn)在看來美不勝收的一些重要的數(shù)學(xué)思想，包括函數(shù)、微積分、集合論等等，在一開始往往是混亂粗糙、難以理解甚至不可思議的，但由于蘊含著創(chuàng)造性的思想，卻又最富有生命力和發(fā)展前途，經(jīng)過許多乃至幾代數(shù)學(xué)家的努力，有時甚至經(jīng)過長期的激烈爭論，才逐步去粗取精、去偽存真，使局勢趨于明朗，最終出現(xiàn)了現(xiàn)在為大家公認(rèn)、甚至寫進(jìn)教科書里的系統(tǒng)理論。

　　要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)及素質(zhì)，固然要灌輸給他們以知識，但更重要的是要使他們了解數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程。

　　這不僅要有機(jī)地結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容的講授，介紹數(shù)學(xué)的思想方法和發(fā)展歷史，更要創(chuàng)造一種環(huán)境，使學(xué)生能身臨其境地介入數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造過程；否則，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，加強(qiáng)素質(zhì)教育，不免是一句空話。

　　今年開始數(shù)學(xué)建模首次列入全國高中教學(xué)計劃。總之，要讓學(xué)生親口嘗嘗梨子的味道

　　在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要主動采取措施，鼓勵并推動學(xué)生解決一些理論或?qū)嶋H的問題。這些問題沒有現(xiàn)成的答案，沒有固定的求解方法，沒有指定的參考書，沒有規(guī)定的數(shù)學(xué)工具，甚至也沒有成型的數(shù)學(xué)問題；主要靠學(xué)生獨立思考、反復(fù)鉆研并相互切磋，去形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而分析問題的特點，尋求解決問題的方法，得到有關(guān)的結(jié)論，并判斷結(jié)論的對錯與優(yōu)劣。

　　總之，要讓學(xué)生親口嘗一嘗梨子的滋味，親身體驗一下數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程，取得在課堂里和書本上無法代替的寶貴經(jīng)驗和切身感受。毫無疑問，數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)以及數(shù)學(xué)建模競賽的開展，可以在這方面為學(xué)生提供一個有益的平臺，是值得引起充分重視的。

　　應(yīng)該特別指出，通過數(shù)學(xué)建模將一個看來與數(shù)學(xué)無關(guān)的現(xiàn)實問題歸結(jié)為一個合理的數(shù)學(xué)問題，并利用數(shù)學(xué)方法成功地予以解決，這是重要的能力與素質(zhì)。這種能力和素質(zhì)的培養(yǎng)與提高，對一個合格的數(shù)學(xué)工作者、特別是應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者來說，對不少將來要走向各行各業(yè)的大學(xué)生來說，無疑是十分值得重視、應(yīng)該著重加以培養(yǎng)的。

　　但現(xiàn)在的大學(xué)生，由于在中學(xué)里受的多半是拼命刷題的訓(xùn)練，而大學(xué)的其他數(shù)學(xué)課程也大都單純著眼于知識的傳播和理論上的完美，這是他們過去從未經(jīng)歷過的一種訓(xùn)練，他們在這方面的培養(yǎng)實際上極為欠缺，因而特別值得引起重視。這種培養(yǎng)和訓(xùn)練，絕不是可有可無的錦上添花，而是實實在在的雪中送炭。

　　這樣，數(shù)學(xué)建模不僅是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的必經(jīng)之路，而且是啟迪數(shù)學(xué)心靈的必勝之途。這樣集知識、能力和素質(zhì)的培養(yǎng)與考察三位一體，必將有力地促進(jìn)創(chuàng)新型優(yōu)秀人才的培養(yǎng)，得到學(xué)生的認(rèn)真參與和歡迎，也是對素質(zhì)教育的重要貢獻(xiàn)。

　　數(shù)學(xué)建模對人才培養(yǎng)的重要作用和深遠(yuǎn)影響無疑值得我們大家高度重視。正因為這樣，從今年開始，數(shù)學(xué)建模的實踐和活動也已首次列入全國高級中學(xué)的教學(xué)計劃。

　　最近在全國制訂高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)時，一位專家對數(shù)學(xué)的作用概括了三句話：用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界。

　　我舉幾個簡單的例子對此稍加說明！希望廣大同學(xué)能很好地體會這三句話，并且努力地實踐這三個方面的要求。

　　生活中的數(shù)學(xué)1

　　為了嚴(yán)禁在高鐵列車上吸煙，可以看到鐵路公安的如下提示：“車內(nèi)吸煙違法，處罰煙火報警，導(dǎo)致緊急停車，危及行車安全。對違法吸煙者根據(jù)《鐵路安全管理案例》處500元以上2000元以下罰款；情節(jié)嚴(yán)重的予以拘留”。

　　這個告示大家自然是明白的。但從數(shù)學(xué)的角度來看，“以上”是“>”而不是“≥”，以下是“<”而不是“≤”。如果真正咬文嚼字，就不能罰500元，只能罰501元；也不能罰2000元，只能罰1999元，這就十分麻煩了。在數(shù)學(xué)上說，這涉及到開區(qū)間與閉區(qū)間的區(qū)別，實在是含糊不得的。這個告示的文字如果能改動一下，那就更好了。< p="">

　　這樣的情況實際上多有所見。在升等升級或評獎的很多場合，總有一個評審委員會來投票決定結(jié)果。如果委員會有12人，而規(guī)定“得票超過其總?cè)藬?shù)的2/3者當(dāng)選”，若1人得8票，能當(dāng)選嗎？如果要此人當(dāng)選，應(yīng)將規(guī)定改為“得票大于、等于總?cè)藬?shù)的2/3者當(dāng)選”。大家將來如果有機(jī)會主持投票選舉，一定要注意。這樣做，絕不是吹毛求疵，而是堅持?jǐn)?shù)學(xué)的嚴(yán)格性，避免造成工作上的麻煩，這就是數(shù)學(xué)帶來的好處。

　　生活中的數(shù)學(xué)2

　　在高速公路上，常有電子屏幕顯示前面的路況，供駕駛?cè)藛T參考。好多城市的高速路上，提醒前方某一路口出現(xiàn)堵車，往往是“××路口車流量大”。然而，這是不是一個確切而準(zhǔn)確的堵車提示呢？車流量應(yīng)該是單位時間(每小時)內(nèi)行駛過的車輛數(shù)，車流量大，說明通過這個路口的車輛數(shù)多，怎么能說是“堵車”呢？如果這條道上一輛車都沒有，其車流量為零，那這是堵車還是暢通呢？因此，單獨用車流量的大小來刻畫堵車，并不正確。

　　生活中的數(shù)學(xué)3

　　拐點，是微積分中的一個概念，說的是函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù)的極值點。在日常生活中，我們也經(jīng)常聽到拐點這個詞。股市中的“拐點”，其實是股市價格的轉(zhuǎn)折點。股票的價格有漲有落，股民關(guān)心股票價格的發(fā)展趨勢，股票的價格由降到升(或相反)的點就稱為拐點，這與微積分中的拐點不同。新冠病毒防控的拐點則是每天的增量開始減少的點，這時所說的拐點，和微積分中的拐點概念就是一致的。這說明，同一個名詞，在生活中用于不同的場合，其意義可以是不同的。我們學(xué)數(shù)學(xué)的，要會得分清其間的差別，才能有一個正確的認(rèn)識。

　　中國科學(xué)院院士 李大潛